作者：老余捞鱼
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写在前面的话：说起微分方程，你可能认为这是数学课本上的抽象概念。但实际上，它在金融领域的应用潜力巨大。在这篇文章中，我将带你了解微分方程如何帮助我们更精确地预测股票价格，揭示连续增长模型背后的数学原理，并通过实际案例展示其预测能力。
在深入研究股市预测和建模时，微分方程（ODEs）的使用可以为股票价格的增长动态提供强大的洞察力。但究竟什么是微分方程，为什么它们在金融建模中如此重要？让我们深入探讨这些数学工具如何影响我们对股票走势的理解。
一、概念解析
1.1 什么是微分方程？
微分方程是将函数与其导数联系起来的数学方程。从本质上讲，它描述了函数如何根据其当前状态和变化率随时间发生变化。例如，微分方程：
而经济模型中的动态变化，如投资与消费的持续关系，也可以用微分方程来分析。
1.2 持续增长模式
连续增长微分方程的解是：
这个指数函数描述了一个量 P 如何随时间不断增长。在这个模型中，e 的使用反映了连续复利效应。
1.3 连续复利
如果投资 100 美元，年利率为 5%，连续复利计算，一年后的金额计算如下：
连续复利计算的结果约为 105.13 美元，略高于离散年复利计算的 105 美元。
1.4 为什么使用连续模型？
现实世界的应用：许多自然和金融过程涉及连续变化而非离散步骤。例如，用连续函数对金融、人口增长和某些物理过程进行建模更为准确。连续模型可以捕捉到离散模型可能忽略的增长和变化的细微差别。
数学的优雅：连续模型可以进行精确的数学分析和预测。它们是微积分的基础，与离散模型相比，它们能更自然地描述许多过程。这就是为什么连续复利和指数增长在金融建模和其他领域至关重要的原因。
1.5 股票分析中 ODE 的力量
在股票分析中，ODE 可用于建立股票价格模型和优化预测。通过应用连续增长模型，我们可以准确模拟股票价格如何随时间演变，从而帮助投资者做出明智的决策。
二、实例：META 股票分析
以下是我们如何使用 ODE 模型分析 META 股票价格的步骤分解.
2.1 数据获取
import numpy as np
import yfinance as yf
from scipy.integrate import odeint
import plotly.graph_objs as go
from plotly.subplots import make_subplots
# Fetch META stock data
meta_data = yf.download('META', period='1y', interval='1d')
close_prices = meta_data['Close'].values
dates = meta_data.index- 使用 yfinance 库下载过去一年 META 的历史股票数据。
- 元数据包含多个列，但我们只在 close_prices 中提取 “收盘 “价格，在 dates 中提取日期。
2.2 ODE 系统定义
# Define the ODE system (simple growth model for stock prices)
def stock_model(P, t, r):
return r * P
# Initial condition (starting stock price)
P0 = close_prices[0]
# Time points (days)
t = np.linspace(0, len(close_prices)-1, len(close_prices))- 在 stock_model 函数中定义了 ODE 系统。该函数表示微分方程，其中 P 是股价，r 是增长率。
- P0 设置为初始股价（第一天的收盘价）。
- t 代表求解 ODE 的时间点，跨度从 0 到天数减 1。
2.3 误差计算与优化
# Function to calculate MAPE
def mean_absolute_percentage_error(y_true, y_pred):
return np.mean(np.abs((y_true - y_pred) / y_true)) * 100
# Define a range of r values to evaluate, from 0 to 0.005
r_values = np.linspace(0, 0.005, 50)
# Array to store MAPE values
mape_values = []
# Loop over r values and calculate MAPE
for r in r_values:
P_pred = odeint(stock_model, P0, t, args=(r,)).flatten()
mape_values.append(mean_absolute_percentage_error(close_prices, P_pred))- 定义平均绝对百分比误差（mean_absolute_percentage_error）来计算平均绝对百分比误差（MAPE），以衡量模型预测的准确性。
- r_values 定义了要评估的增长率范围，从 0 到 0.005。
- 循环计算这些增长率，求解每个增长率的 ODE，并计算 MAPE，以了解每个模型与实际数据的拟合程度。
2.4 优化
# Find the optimal r with the minimum MAPE
optimal_r = r_values[np.argmin(mape_values)]
# Generate predictions with optimal r
P_pred_optimal = odeint(stock_model, P0, t, args=(optimal_r,)).flatten()- 通过寻找使 MAPE 最小的 r 值来确定最佳增长率（optimal_r）。
- 利用这一最优增长率，我们生成了预测股价（P_pred_optimal）供比较。
2.5 绘图
# Create subplots
fig = make_subplots(
rows=2, cols=1,
subplot_titles=("MAPE vs. Growth Rate (r)", f"META Stock Prices with Optimal r = {optimal_r:.6f}"),
row_heights=[0.4, 0.6] # Adjust height ratio for better layout
)
# Add MAPE vs. Growth Rate (r) plot
fig.add_trace(
go.Scatter(x=r_values, y=mape_values, mode='lines', name='MAPE'),
row=1, col=1
)
# Add META Stock Prices plot
fig.add_trace(
go.Scatter(x=dates, y=close_prices, mode='lines', name='Actual Prices', line=dict(color='blue')),
row=2, col=1
)
fig.add_trace(
go.Scatter(x=dates, y=P_pred_optimal, mode='lines', name=f'Predicted Prices (Optimal r = {optimal_r:.6f})', line=dict(color='red')),
row=2, col=1
)
# Update layout
fig.update_layout(
title="Stock Analysis with Growth Rate Optimization",
xaxis_title="Growth Rate (r)", # Title for the x-axis of the first subplot
yaxis_title="MAPE (%)", # Title for the y-axis of the first subplot
height=800, # Adjust height for both subplots
showlegend=True
)
# Update x-axis and y-axis titles for the second subplot
fig.update_xaxes(title_text="Date", row=2, col=1)
fig.update_yaxes(title_text="Price", row=2, col=1)
# Show the combined plot
fig.show()
我们使用 Plotly 创建子图来直观显示结果。上面的第一个子图显示了 MAPE 与增长率的关系，让我们看到模型的准确性在不同增长率下的变化情况。
第二个子图显示了实际股价和预测股价，突出显示了我们的模型与最优增长率的拟合程度。
2.6 Try It Yourself
想要深入了解如何利用 ODE 模型优化股票价格？
您可以在 Google Colab 上运行代码，并对增长率、MAPE 等进行实验。将下面地址的内容复制一份，然后看看不同的增长率对股价预测有何影响。（给你们修改权限是为了马上能看到运行效果的，不要再直接改我代码了，后面的读者也要看）
地址：https://colab.research.google.com/drive/13_BoT7X70zhcjN5Vq7f2vtouZ-orYBYp?usp=sharing
三、观点总结
微分方程，尤其是涉及连续增长模型的微分方程，在股票分析和金融预测中发挥着举足轻重的作用。利用这些数学模型的优越性，我们可以获得更准确、更有洞察力的预测，最终做出更好的投资决策。
- 微分方程在金融建模中的重要性：微分方程能够捕捉到股票价格变化的动态过程，对于理解和预测股票走势至关重要。
- 连续模型的优势：连续增长模型能够更准确地描述许多自然和金融过程，如利率、人口增长和物理过程，与离散模型相比，它们能提供更细致的增长和变化细节。
- 数学优雅与实际应用的结合：连续模型不仅在数学上提供了精确的分析工具，而且在实际应用中，如股票分析，能够帮助投资者做出更明智的决策。
- 数据分析与优化的重要性：通过数据获取、模型定义、误差计算和优化，可以提高股票价格预测的准确性，从而在投资决策中获得更好的结果。
- 实际案例的展示：通过对META股票价格的分析，网页展示了如何实际应用微分方程模型来优化股票分析的过程，并通过可视化工具来直观地展示分析结果。
感谢您阅读到最后，希望本文能给您带来新的收获。祝您投资顺利！如果对文中的内容有任何疑问，请给我留言，必复。
本文内容仅限技术探讨和学习，不构成任何投资建议。
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